基变换

如果有一个人，用着不同的基向量，分别是：

$$\overrightarrow{{\mathbf{b}}_{\mathbf{1}}}=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$$$$\overrightarrow{{\mathbf{b}}_{\mathbf{2}}}=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$$

但是从对方的角度来说，这两个坐标为：

$$\overrightarrow{{\mathbf{b}}_{\mathbf{1}}}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$$$$\overrightarrow{{\mathbf{b}}_{\mathbf{2}}}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$

对方使用着自己的网格来为坐标可视化，但是大家都在 (0,0) 这个 Origin 的含义上达到了共识。

如果对方用 (-1, 2) 来表示一个向量，那么这个向量用我们的方式缩放后再相加，就是：

$$-1\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-4\\ 1\end{array}\right]$$

实际上就是矩阵-向量乘法：

$$\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-4\\ 1\end{array}\right]$$

TIP

$$A\stackrel{\text{Their language}}{\overbrace{\left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\end{array}\right]}}=\underset{\text{Our language}}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right]}}$$$$\text{Our grid}\to \text{Their grid}$$$$A=\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]$$$$\text{Our language}\leftarrow \text{Their language}$$

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TIP

$$\stackrel{\text{Their language}}{\overbrace{\left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\end{array}\right]}}=A^{-1}\underset{\text{Our language}}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right]}}$$$$\text{Our grid}\leftarrow \text{Their grid}$$$$\text{Inverse}{\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]}^{-1}$$$$\text{Our language}\to \text{Their language}$$

$A^{-1}MA$

TIP

如果我们们把坐标轴旋转 90°，那么矩阵为：

$$\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$$

但是实际上，这是用我们自己的语言，来跟踪我们所选的基向量，用我们的坐标来记录。

那对方的坐标如何表示呢？

不可以将我们的基向量所组成的矩阵直接转化为对方的语言，因为这些列代表的仍然是我们的基，而不是对方的基。

• 我们应该表示出对方的基向量旋转后的变化，并用对方的语言来描述。

• 首先，我们找一个用对方语言描述的任意向量，比如：

$$\underset{\text{Vector of their language}}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]}}$$

• 接下来，我们不用对方的语言来描述，而是转化为用我们自己的语言来描述：

$$\stackrel{\text{Same vector in our language}}{\overbrace{\underset{\text{Change of basis matrix}}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]}}\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]}}$$

• 然后，将所得结果左乘线性变换矩阵，此时给出的就是旋转变换后的矩阵了：

$$\underset{\text{Transformation matrix in our language}}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]}}\stackrel{\text{Same vector in our language}}{\overbrace{\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]}}$$

• 最后一步，自然就是把我们语言描述的变换后的向量，转换为对方语言描述的向量了：

$$\underset{\text{Inverse of change of basis matrix}}{\underbrace{{\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]}^{-1}}}\stackrel{\text{Transformed vector in our language}}{\overbrace{\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]}}$$

TIP

任意的一个矩阵都可以像上面那样做：

$$\stackrel{\text{Transformed vector in their language}}{\overbrace{{\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]}}\overrightarrow{\mathbf{v}}$$

因此，表达式 $A^{-1}MA$ 暗示着一种数学上的转移作用。