特征值和特征向量

TIP

一个向量，张成的空间是一个直线。

大多数情况的线性变换后，这个向量都会离开这个直线。

但是如果有有些向量，在经过线性变换后，仍然在原来的直线上，只是被拉伸或者压缩了。这些向量就是特征向量 Eigenvector，对应的拉伸或者压缩的倍数就是特征值 Eigenvalue。

显然，如果一个变换只旋转不缩放，那么特征值一定为 1。

$$\stackrel{\text{变换矩阵}}{\overbrace{A}}\overrightarrow{\mathbf{v}}=\stackrel{\text{特征值}}{\overbrace{\lambda }}\overrightarrow{\mathbf{v}}$$

解法

• 由于左边是矩阵向量的乘法，右面是向量的数乘：

$$\stackrel{\text{Matric-vector multiplication}}{\overbrace{A\overrightarrow{\mathbf{v}}}}=\underset{\text{Scalar multiplication}}{\underbrace{\lambda \overrightarrow{\mathbf{v}}}}$$

• 所以我们需要将等式两边都转换成一致的形式：

$$A\overrightarrow{\mathbf{v}}=(\lambda I)\overrightarrow{\mathbf{v}}$$$$(A-\lambda I)\overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{0}$$

• 当且仅当矩阵代表的变换将空间压缩到更低的维度时，才会存在一个非零向量，使得这个变换将这个向量压缩到零。此时对应的就是矩阵的行列式为 0。

$$det(A-\lambda I)=0$$

如果没有实数解表明没有特殊向量。

特征基

如果我们的基向量都是特征向量，那么变换矩阵是一个对角矩阵。

矩阵的对角元是它们所属的特征值。