逆矩阵列空间与零空间

线性方程组

Linear system of equations

$$A\overrightarrow{\mathbf{x}}=\overrightarrow{\mathbf{v}}$$$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}\to \stackrel{A}{\overbrace{\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]}}\stackrel{\overrightarrow{\mathbf{x}}}{\overbrace{\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]}}=\stackrel{\overrightarrow{\mathbf{v}}}{\overbrace{\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right]}}$$

逆变换

Inverse transformation

$$A^{-1}A=\underset{\text{恒等变换}}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]}}$$

TIP

$$\{\begin{array}{l}2x+2y=-4\\ 1x+3y=-1\end{array}\to \stackrel{A}{\overbrace{\left[\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 3\end{array}\right]}}\stackrel{\overrightarrow{\mathbf{x}}}{\overbrace{\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]}}=\stackrel{\overrightarrow{\mathbf{v}}}{\overbrace{\left[\begin{array}{c}-4\\ -1\end{array}\right]}}$$

• A squishes things to a lower dimension.

$$det(A)=0$$

如果 $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ 在这个直线中，则 Solutions exist。

• Or A keeps things 2D.

$$det(A)\ne 0$$

只要线性变换 A 不将其压缩到一个更低的维度，就一定存在 A^{-1} 将其变换回原来的位置。但如果行列式为 0 则不同了，因为没有一个函数能将一条线解压缩为一个平面。

$$A^{-1}A\overrightarrow{\mathbf{x}}=A^{-1}\overrightarrow{\mathbf{v}}$$$$\overrightarrow{\mathbf{x}}=A^{-1}\overrightarrow{\mathbf{v}}$$

秩

Rank

• 当压缩为一个直线时，$\text{Rank}=1$。

• 当压缩到一个平面时，$\text{Rank}=2$。

• 当压缩仍为一个三维空间时，$\text{Rank}=3$。

对于一个三维变换而言，如果 $det(A)=0$，那么 $\text{Rank}=1$ 将比 $\text{Rank}=2$ 压缩得更狠。

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列空间 Column space 是列张成的空间。秩的定义是列空间的维数。

Full rank 意味着秩和列数相等。

• 对于满秩变换来说，由于 Origin 不变：

$$\text{Only}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]\text{lands on}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$$

零空间 or 核

• 对于非满秩变换来说，会有很多点会落在原点。

变化后落在原点的向量的集合，被称为 Null space 或 Kernel。

TIP

对于线性方程组来说，零空间给出的就是这个向量的所有可能的解。

$$A\overrightarrow{\mathbf{x}}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$$

这就是解的形状。