线性组合、张成的空间与基

基

坐标是对 x 轴的单位向量 $\hat{i}$ 和 y 轴的单位向量 $\hat{j}$ 的缩放。

向量是对两个经过缩放的向量的和，即缩放向量并相加。

TIP

$\hat{i}$ and $\hat{j}$ are the basis vectors of the $xy$ coordinate system.

What if we chose different basis vectors?

如果两个向量不共线或不为零向量，同样也可以表示二维空间的所有向量。

线性组合

Scaling two vectors and adding them is called a linear combination of those two vectors.

所有的线性组合的向量的集合，叫做这两个定向量的张成空间 span。

TIP

The span of two basis vectors is the set of all their linear combinations.

也就是仅通过向量的相加和数乘，可以获得的所有向量的集合是什么。

由于向量的起点固定在 Origin，所以我们只需要考虑向量的终点的坐标，而不需要考虑长长的箭头了。

线性相关与线性无关

如果添加一个新的向量，但是它可以被原有的向量线性表示，也就是说，它不能改变原有向量的张成空间，那么这个新的向量就是线性相关的。

TIP

例如我原本有两个向量 $\hat{i}$ 和 $\hat{j}$，它们张成二维空间，如果再添加一个向量 $\hat{k}$，但是这个 $\hat{k}$ 也在这个二维平面上。也就是说，$\hat{k}$ 也可以被 $\hat{i}$ 和 $\hat{j}$ 表示。

• 即使添加了这个向量，这三个向量也无法超出这个平面，张成空间也没有改变。

那么，这个 $\hat{k}$ 就是线性相关的。

所以基的严格定义是：

TIP

The basis of a vector space is a set of linearly independent vectors that span the space.

• 向量空间的一组基是张成这个向量空间的一组线性无关的向量集。