矩阵与线性代数

线性变换

Teansformation is essentially a fancy word for function.

接收输入内容，并输出结果。

只不过这里我们的输入和输出都是向量。

TIP

变换这个词暗示你用运动去思考。

线性代数限制在 Linear Transformations 里。

TIP

• Lines remain lines.

• Origin remains fixed.

也就是说，线性变换应该保证：

Grid lines remain parallel and evenly spaced.

网格线保持平行且等距分布。

若原坐标系中存在一个向量 $\overrightarrow{v}$ 可以用两个基向量线性表示：

$$\overrightarrow{v}=-1\hat{i}+2\hat{j}$$

那么如果这个坐标系发生变换，$\overrightarrow{v}$ 仍可以用变换后的两个基向量线性表示。

$$\overrightarrow{v}=-1(\text{Transformed }\hat{i})+2(\text{Transformed }\hat{j})$$

例如，若原坐标系的基向量为 $\hat{i}$ 和 $\hat{j}$，变换后如下：

$$\hat{i}\to \left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$$$$\hat{j}\to \left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right]$$

那么任意一个向量的原坐标都可以得出变换后的新坐标：

$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\to x\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1x+3y\\ -2x+0y\end{array}\right]$$

矩阵

TIP

一个二维变换仅由四个数字完全确定，也就是变化后的 $\hat{i}$ 和 $\hat{j}$ 的坐标。

我们将这四个数字放在一起，组成的就是一个 2x2 Matrix。

$$\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 0\end{array}\right]$$

矩阵的每一列就是变换后的基向量。

如果我们想要得到任意一个向量的变换结果，我们只需要将它们分别与矩阵的特定列相乘，然后将结果相加即可。

TIP

缩放向量再相加

$$\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=x\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1x+3y\\ 2x+0y\end{array}\right]$$

因此我们可以定义出矩阵向量乘法：

TIP

矩阵放到向量左边，类似一个函数

$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=x\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}ax+by\\ cx+dy\end{array}\right]$$

Details

Shear 剪切:

$\hat{i}$ 不变，但是 $\hat{j}$ 移动到了坐标 (1, 1)。

$$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$$

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TIP

列线性相关：

如果一个矩阵的列向量线性相关，那么这个线性变换将整个二维空间挤压到它们所在的一条直线上。