向量究竟是什么

物理学家

向量是空间中的箭头

• 长度

• 方向

计算机学家

Vectors are lists of numbers

即一串数字列表。

数学家

向量包含上述的含义，并具有两种运算

• 向量加法

• 向量乘法

坐标系

当向量作为一个箭头时，起点放到坐标原点 Origin，那么，向量就可以用一个坐标来表示。

这个向量的坐标就是数字列表。

WARNING

线性代数里，大多不允许起点离开坐标原点。

$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$$

向量加法

• 物理学家：是按指定的方向移动

TIP

这里允许第二个向量的起点离开坐标原点，衔接到第一个向量的终点。

这样第一个向量和第二个向量相加的结果，就是从第一个向量的起点连接到第二个向量的终点。

• 计算机学家：是列表的对应项相加

$$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\\ z_1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\\ z_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_1+x_2\\ y_1+y_2\\ z_1+z_2\end{array}\right]$$

向量数乘

• 物理学家：向量与标量 Scalars 相乘，几何意义上是对向量的缩放 Scaling。

TIP

• 乘以一个绝对值大于 1 的数，向量的长度会增加。

• 乘以一个绝对值小于 1 的数，向量的长度则会收缩。

• 而负数会使向量反向缩放。

• 计算机学家：向量与标量相乘就是将向量中的每个分量与标量相乘。

$$k\times \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}kx\\ ky\\ kz\end{array}\right]$$