点积与对偶性

假设有一个线性变换，其 $\hat{i}$ 和 $\hat{j}$ 分别变换至数轴上的 1 和 -2。

我们想要将追踪如下向量变换后的位置：

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=\left[\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right]$$

其变换过程应为：

$$\stackrel{\text{Transform}}{\overbrace{\left[\begin{array}{cc}1& -2\end{array}\right]}}\underset{\text{Vector}}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right]}}=4\cdot 1+3\cdot (-2)$$

$2\times 1\text{Matrix}\leftrightarrow \text{Vector}$

一个二维到一维的线性变换，空间中一定会存在一个向量与之线性相关。

两个向量点乘，就是将其中一个向量转变为线性变换。

$$\stackrel{\text{Vector}}{\overbrace{\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right]}}\cdot \underset{\text{Vector}}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right]}}=\stackrel{\text{Transform}}{\overbrace{\left[\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\end{array}\right]}}\underset{\text{Vector}}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right]}}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$$

TIP

由此可见，向量是线性变换的物质载体。