叉积的标准介绍

计算形式

\vec{v} \times \vec{w}

结果是一个可以用右手定则表示的向量，其方向垂直于 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ ，其长度等于以 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ 为边的平行四边形的面积。

假设 $\vec{v} = [\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}]$ ， $\vec{w} = [\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix}]$ ，则：

\vec{v} \times \vec{w} = det ([\begin{matrix} 3 & 2 \\ 1 & - 1 \end{matrix}])

这里是将 $\hat{i}$ 和 $\hat{j}$ 分别移至 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ 的线性变换相对应。

因为行列式就是变换前后面积变化比例的度量。

[\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix}] \times [\begin{matrix} w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{matrix}] = det ([\begin{matrix} \hat{i} & v_{1} & w_{1} \\ \hat{j} & v_{2} & w_{2} \\ \hat{k} & v_{3} & w_{3} \end{matrix}])

f ([\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}]) = det ([\begin{matrix} x & v_{1} & w_{1} \\ y & v_{2} & w_{2} \\ z & v_{3} & w_{3} \end{matrix}])

我们可以得出，这个函数是线性的，因此，我们可以使用矩阵乘法来描述这个函数：

[\begin{matrix} ? & ? & ? \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = det ([\begin{matrix} x & v_{1} & w_{1} \\ y & v_{2} & w_{2} \\ z & v_{3} & w_{3} \end{matrix}])

由于对偶性，我们可以将这个 $1 \times 3$ 的矩阵转化为一个向量 $\vec{p}$ :

\overset{\vec{p}}{\overset{⏞}{[\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix}]}} \cdot [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = det ([\begin{matrix} x & v_{1} & w_{1} \\ y & v_{2} & w_{2} \\ z & v_{3} & w_{3} \end{matrix}])

显然，我们可以解出：

\vec{p} = [\begin{matrix} v_{2} w_{3} - v_{3} w_{2} \\ v_{3} w_{1} - v_{1} w_{3} \\ v_{1} w_{2} - v_{2} w_{1} \end{matrix}]