矩阵乘法与线性代数复合

复合变换

如果我们进行两次变换，先进行一次旋转 rotation，再进行一次剪切 shear，我们该怎么计算最终的结果呢？

$$\underset{\text{Shear}}{\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]}\left(\underset{\text{Rotation}}{\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]}\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\right)=\underset{\text{Composition}}{\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right]}\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

由上可见，我们将复合矩阵的乘积记为剪切矩阵和旋转矩阵的乘积也是合理的。

矩阵乘法

TIP

矩阵的乘法应该从右往左读。

$$\underset{\text{Shear}}{\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]}\underset{\text{Rotation}}{\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]}=\underset{\text{Composition}}{\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right]}$$

那么矩阵的乘法是何规律？

• 我们先观察变换后的 $\hat{i}$：

$$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=0\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+1\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$$

• 同理，变换后的 $\hat{j}$：

$$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=-1\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+0\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right]$$

• 那么这个矩阵自然就是：

$$\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$$

---

这一方法显然具有普适性，我们用变量来代替数值，自然就可以推导出矩阵乘法的公式了：

$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}ae+bg& af+bh\\ ce+dg& cf+dh\end{array}\right]$$

TIP

由此可见，矩阵乘法的意义，就是代表着两个变换相继作用。

三维空间的线性变换

TIP

那么三个基向量显然就可以组成一个 $3\times 3$ 的矩阵了，仅用 9 个数字，就可以完全描述一个线性变换。