线性回归的原理

房价预测

• 假设 1：影响房价的关键因素是卧室个数，卫生间个数和居住面积，记为 $x_1$,$x_2$,$x_3$.
• 假设 2：成交价是关键因素的加权和

$$y=w_1{x}_1+w_2{x}_2+w_3{x}_3+b$$

线性模型

• 给定 n 维输入

$$\mathbf{x}=[x_1,x_2,\dots ,x_n{]}^T$$

• 线性模型有一个 n 维权重和一个标量偏差

$$\mathbf{w}=[w_1,w_2,\dots ,w_n{]}^T,b$$

• 输出是输入的加权和

$$y=w_1{x}_1+w_2{x}_2+\dots +w_n{x}_n+b$$

• 向量版本：

$$y=<\mathbf{w},\mathbf{x}>+b$$

• 可以看成单层神经网络

衡量预估质量

• 比较真实值和预估值，例如房屋售价和估价
• 假设 $y$ 是真实值，$\hat{y}$ 是预估值，我们可以比较平方损失：

$$l(y,\hat{y})=\frac{1}{2}(y-\hat{y}{)}^2$$

训练数据

• 采集权重和偏差
• 假设有 n 个样本，记

$$\mathbf{X}=[x_1,x_2,\dots ,x_n{]}^T\mathbf{y}=[y_1,y_2,\dots ,y_n{]}^T$$

• 训练损失：找到 $w_1$ 使得这一项最小

$$l(\mathbf{X},\mathbf{y},\mathbf{w},b)=\frac{1}{2n}||\mathbf{y}-\mathbf{Xw}-b|{|}^2$$

• 最小化损失来学习参数

$${\mathbf{w}}^{\ast },{\mathbf{b}}^{\ast }=arg{min}_{w,b}l(\mathbf{X},\mathbf{y},\mathbf{w},b)$$

显示解

基础优化方法

梯度下降

• 挑选一个初始值 $w_0$
• 重复迭代参数 $t=1,2,3$

$${\mathbf{W}}_t={\mathbf{W}}_{\mathbf{t}\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{-}\eta \frac{\delta \mathbf{l}}{\delta {\mathbf{W}}_{\mathbf{t}\mathbf{-}\mathbf{1}}}$$

• 沿梯度方向将增加损失函数值
• 学习率：步长的超参数

小批量随机梯度下降

• 随机采样 b 个样本 $i_1,i_2,\dots ,i_b$ 来近似损失

$$\frac{1}{b}\sum _{i\in I_b}l({\mathbf{x}}_i,y_i,\mathbf{w})$$

• b 是批量大小，另一个重要的超参数

总结

• 梯度下降通过不断沿着反梯度方向更新参数求解
• 小批量随机梯度下降时深度学习默认的求解算法
• 两个重要的超参数是批量大小和学习率

线性回归的从零开始实现

构造人造数据集

$$\mathbf{w}=[2,-3.4{]}^T,b=4.2,\text{和噪声项 }\delta$$

def synthetic_data(w, b,  num_examples):
	X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))
	y = torch.matmul(X, w) + b
	y += torch.normal(0, 0.01, y.shape)
	return X, y.reshape((-1, 1))

true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

定义 data_iter 函数